Nota Matematik

Cara memulakan penulisan bukti olimpiad

Masalah bulatan ini menunjukkan cara membuktikan sesuatu yang pada mulanya hanya dapat dilihat pada lakaran.

Mulakan dengan perkara yang hendak dibuktikan

Katakan AB ialah diameter sebuah bulatan berpusat di O. Ambil C sebagai sebarang titik lain pada bulatan itu. Buktikan bahawa sudut ACB ialah sudut tegak.

Lakaran itu menunjukkan kemungkinan adanya sudut tegak. Untuk membuktikannya, cari fakta yang diketahui dengan pasti. Oleh sebab O ialah pusat bulatan, OA, OB dan OC semuanya jejari yang sama panjang.

Bucu A, B dan C bagi segi tiga ABC terletak pada bulatan. Diameter AB melalui pusat O. — Rajah 1. Mulakan dengan sudut pada C.

Gunakan jejari untuk mencari sudut yang sama

Lukis OC. Garis itu membahagikan segi tiga ABC kepada dua segi tiga sama kaki, AOC dan BOC. Namakan sudut CAO sebagai α dan sudut CBO sebagai β.

OC membahagikan ABC kepada dua segi tiga sama kaki. α dan β menandakan pasangan sudut tapak yang sama dalam setiap segi tiga. — Rajah 2. OC membentuk dua segi tiga sama kaki. Dalam setiap segi tiga, kedua-dua sudut tapaknya sama besar.

Oleh sebab OA = OC, sudut ACO ialah α. Oleh sebab OB = OC, sudut OCB ialah β. Maka sudut ACB ialah α + β. Oleh sebab O terletak pada AB, sudut pada bucu A dan B dalam segi tiga ABC masing-masing ialah α dan β.

Jumlahkan ketiga-tiga sudut dalam segi tiga ABC. Kita memperoleh α + β + (α + β) = 180°. Oleh itu, α + β = 90°, seperti yang hendak dibuktikan.

Tulis perkara yang perlu dibuktikan. Senaraikan satu fakta yang boleh disimpulkan daripada maklumat yang diberi. Selepas setiap langkah, nyatakan fakta atau teorem yang menyokong langkah tersebut.